ALiNew

[Algo Rhythm ] 프로그래머스 - 기지국 설치

ALiNew — Sat, 24 Sep 2022 16:51:25 +0900

문제 분석

아파트의 개수를 $n\ (1 \le n \le 2 \times 10^8)$, 현재 기지국이 설치된 아파트의 번호가 담긴 1차원 배열을 $S\ (1 \lt \left\vert S \right\vert \lt 10^4,\ S는\ 오름차순\ 정렬)$, $S$에 속하는 각 기지국을 $s_i\ (1 \le s_i \le n,\ 1 \le i \le \left\vert S \right\vert )$, 전파의 도달 거리를 $w(1 \le w \le 10^4)$, 한 기지국이 전파를 전달할 수 있는 기지국들의 최개 개수를 $d\ (=2 \times w + 1)$라고 하자.

현재 설치된 기지국 $s_i$의 전파 전달 범위를 $rcvd_i$라고 할 때, $rcvd_i$는 다음과 같다.

$\begin{matrix} rcvd_i &=& \left[\ left_i,right_i\ \right] \\ &=& \left[\ \max(1, s_i - w),\min(n, s_i + w)\ \right] \end{matrix}$

우린 $rcvd_i$를 통해 기지국이 설치되지 않고 연속된 아파트들의 개수 $L_j$를 알 수 있는데 그것은 다음과 같다.

$L_j = pos - left_i\ (pos : 연속된\ 아파트\ 중\ 첫\ 아파트의\ 번호,\ 0\le j \le i + 1)$

또한 우린 $L_j$을 통해 연속된 모든 아파트에 전파를 전달하기 위해 증설해야 하는 기지국 개수의 최솟값인 $N_{stn_j}$를 알 수 있는데 그것은 다음과 같다.

$N_{stn_j} = \begin{cases} 1 &if\ 0 \lt L_j \lt d\ \\\ulcorner {L_j \over d} \urcorner&else\end{cases}$

문제 풀이

모든 아파트에 전파를 전달하기 위해 증설해야 할 기지국 개수의 최솟값 $ans$는 다음과 같다.

$ans = \sum N_{stn_j}$

$rcvd_i$를 하나씩 순회하며 $N_{stn_j}$를 구한 뒤 더하면 될 것 같지만 주의해야 할 점이 하나 있다.

그것은 바로 아래와 같이 마지막 $rcvd_i$의 $right_i$가 $n$보다 작은 경우이다.

이 경우 마지막 $N_{stn_j}$를 구할 수 없기 때문에 $rcvd$에 $\left[\ n+1,n+1\ \right]$라는 가상의 전파 전달 범위를 추가한다.

✨복잡도 분석

$S$와 $rcvd$의 크기를 $n\ (1 \lt n \lt 10^4)$, 이라고 할 때, 시간 복잡도와 공간 복잡도는 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(n)$

$rcvd$ 구하기 : $O(n)$
$\sum N_{stn_j}$ 계산 : $O(n)$

공간 복잡도 : $O(n)$

$S,\ rcvd$ 저장 : $O(n)$

코드

문제 출처

https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/12979

[Algo Rhythm ] 프로그래머스 - 숫자 게임

ALiNew — Sat, 24 Sep 2022 00:59:32 +0900

문제 분석

A 팀원들이 부여받은 수가 출전 순서대로 나열되어있는 배열을 $A$, i번째 원소가 B팀의 i번 팀원이 부여받은 수를 의미하는 배열을 $B$라고 하자.

이때 두 배열의 원소 $a_i, b_i$, 배열의 크기 $L$은 아래와 같이 정의할 수 있다.

$1 \le L = \left\vert A \right\vert = \left\vert B \right\vert \le 10^5$

$1 \le a_i, b_i \le 10^9 (a_i \in A, b_i \in B, i \in \left[ 1, L \right])$

A팀은 출전 순서가 이미 고정되어 있다. 따라서 B팀이 최대 승점을 얻기 위해서는 각 $a_i$를 패배할 수 있는 즉, $a_i < b_i$ 조건을 만족하는 가장 작은 $b_i$와 매칭하면 된다.

문제 풀이

앞서 분석에서 언급했듯이 우리는 각 $a_i$를 $a_i \lt b_i$를 만족하는 가장 작은 $b_i$와 매칭해야 한다.

가장 간단하게 모든 $b_i$를 일일이 살펴보는 방법도 가능하다. 하지만 $B$를 정렬한 뒤 binary search를 이용하면 더 빠르게 매칭할 수 있다.

정리하면 이 문제는 다음과 같은 알고리즘으로 해결가능하다.

$B$를 오름차순으로 정렬
모든 $a_i$에 대하여 다음 과정 실행
1. binary search를 통해 $a_i \lt b_i$를 만족하는 가장 작은 $b_i$ 찾기
2. 찾으면 승점에 1점을 추가하고 해당 $b_i$를 다음 과정에서 제외

✨복잡도 분석

두 배열 $A, B$의 크기를 $n$이라고 하자.

⏰시간 복잡도 : $O(n\log n)$

$B$ 정렬 : $O(n \log n)$
모든 $a_i$에 대하여 binary search로 $a_i \lt b_i$를 만족하는 가장 작은 $b_i$ 찾기 : $O(n \log n)$

공간 복잡도 : $O(n)$

코드

문제 출처

https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/12987

[Algo Rhythm ] BOJ 16926 - 배열 돌리기 1

ALiNew — Sat, 14 Aug 2021 21:12:35 +0900

문제 분석

크기가 $n \times m\ (2 \le n, m \le 300)$ 인 배열 $A$를 반시계 방향으로 $r\ (1 \le r \le 1,000)$번 회전한 결과를 출력하기 위해 먼저 $A$를 관찰해보자.

$A$를 관찰하면 가장 바깥 층부터 가장 안 층까지 아래 그림과 같이 재귀적인 관계가 있음을 알 수 있다.

또한 가장 바깥 층을 관찰하면 반시계 방향으로 1번 회전할 때 $(1, 1)$에 있는 값을 시작으로 값을 아래로 옮기는 것을 $(n - 1)$번, 오른쪽으로 옮기는 것을 $(m-1)$번 , 위로 옮기는 것을 $(n-1)$번, 왼쪽으로 옮기는 것을 $(m-1)$번 반복해야 한다는 것을 알 수 있다.

문제 풀이

크기가 $n \times m$인 배열 $A$를 반시계 방향으로 1회 회전하는 함수 $rotate$는 다음과 같다.

$rotate(n, m, start_x, start_y)= \begin{cases} nothing & if\ n = 0\ or\ m = 0\\ rotate(n - 2, m - 2, start_x + 1, start_y + 1) & else \end{cases}$

또한 $rotate$ 실행시 $(start_x, start_y)$에 있는 값을 시작으로 값을 아래로 옮기는 것을 $(n-1)$번, 오른쪽으로 옮기는 것을 $(m - 1)$번, 위로 옮기는 것을 $(n - 1)$번, 왼쪽으로 옮기는 것을 $(m - 1)$번 반복해야 한다.

✨복잡도 분석

크기가 $n \times m$인 배열 $A$를 반시계 방향으로 $r$번 회전할 때 시간 복잡도와 공간 복잡도는 각각 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(nmr)$

$A$를 저장하는데 $O(nm)$이 소요됨.
$A$를 반시계 방향으로 회전하면 $O(nm)$이 소요됨.
- 위 과정을 $r$번 반복하면 $O(nmr)$이 소요됨.
$r$번 회전한 $A$를 출력하는데 $O(nm)$이 소요됨.

공간 복잡도 : $O(nm)$

A를 저장하는데 $O(nm)$이 소요됨.

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/16926

16926번: 배열 돌리기 1

크기가 N×M인 배열이 있을 때, 배열을 돌려보려고 한다. 배열은 다음과 같이 반시계 방향으로 돌려야 한다. A[1][1] ← A[1][2] ← A[1][3] ← A[1][4] ← A[1][5] ↓ ↑ A[2][1] A[2][2] ← A[2][3] ← A[2][4] A[2][5]

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[Algo Rhythm ] BOJ 2225 - 합분해

ALiNew — Thu, 22 Jul 2021 22:15:22 +0900

문제 분석

입력으로 주어지는 두 정수를 각각 $N,K\ (1\le N,K \le 200)$라고 하자.

그리고 0부터 N까지의 정수 K개를 더해서 그 합이 N이 되는 경우의 수를 $f(N,K)$라고 하자.

마지막으로 N을 만들기 위해 더해지는 K개의 정수들을 순서대로 $I_1, I_2, ..., I_K$라고 하자.

$f(N,K)$의 규칙을 파악하기 위해 $f(2, 3)$를 구하는 과정을 분석해보자. $f(2, 3)$은 아래와 같이 6이다.

이때 $I_1$과 나머지 $I_2, I_3$의 관계를 파악해보자.

$I_1 = 0$ 일때 $I_2, I_3$를 구하는 것은 $f(2, 2)$을 구하는 것과 같다. (1이 적힌 파란 원으로 표시함)

$I_1 = 1$ 일때 $I_2, I_3$를 구하는 것은 $f(1,2)$를 구하는 것과 같다. (2가 적힌 파란 원으로 표시함)

$I_1 = 2$ 일때 $I_2, I_3$를 구하는 것은 $f(0, 2)$를 구하는 것과 같다. (3이 적힌 파란 원으로 표시함)

뿐만 아니라 다른 경우들을 분석하면 $N = 0$이거나 $K = 1$ 일때 $f(N, K) = 1$ 임을 알 수 있다.

이를 종합하면 $f(N, K)$는 다음과 같다는 사실을 알 수 있다.

$f(N, K)= \begin{cases} 1 & if\ N = 0\ or\ K = 1\\ \sum_{i=0}^N f(N - i, K - 1) \mod 10^9 & else \end{cases}$

문제 풀이

$f(n, k)\ (1 \le n \le N,\ 1 \le k \le K)$를 저장하는 배열을 만든다.

그리고 bottom-up 방식으로 $f(n,k)$를 구하는데 그 때 쓰이는 점화식은 아래와 같다.

$f(N, K)= \begin{cases} 1 & if\ N = 0\ or\ K = 1\\ \sum_{i=0}^N f(N - i, K - 1) \mod 10^9 & else \end{cases}$

✨복잡도 분석

입력으로 두 정수 $N,K\ (1\le N,K \le 200)$이 주어질 때, 시간 복잡도와 공간 복잡도는 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(N^2K)$

bottom-up 방식으로 $f(N, K)$를 구하는데 $O(NK)$가 소모됨.
solve 함수 실행시 $O(N)$이 소모됨.

공간 복잡도 : $O(NK)$

$f(N, K)$를 저장하기 위해 $O(NK)$가 소모됨.

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/2225

2225번: 합분해

첫째 줄에 답을 1,000,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

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[Algo Rhythm ] BOJ 1463 - 1로 만들기

ALiNew — Thu, 22 Jul 2021 00:00:41 +0900

문제 분석

주어진 $n\ (1 \le n \le 10^6)$에 대하여 사용가능한 연산들은 다음과 같다.

$op_1 : n \equiv 0 \pmod{3}이면,\ n = n \div 3$
$op_2 : n \equiv 0 \pmod{2}이면,\ n = n \div 2$
$op_3 : n = n - 1$

그리고 $n$을 1로 만들기 위해 사용하는 연산의 최소 횟수를 $f(n)$이라고 하자.

$n$에 대하여 $op_1,\ op_2,\ op_3$을 모두 사용할 수 있을 때 $n$을 1로 만들기 위해 사용하는 연산의 최소 횟수를 각각 $f_1,\ f_2,\ f_3$라고 하자.

그렇다면 $n \equiv 0 \pmod{3}$이면 $op_1$을 사용하여 $n$을 $n \div 3$으로 줄일 수 있기 때문에 $f_1 = f(n \div 3) + 1$이다.

그리고 $n \equiv 0 \pmod{2}$이면 $op_2$를 사용하여 $n$을 $n \div 2$로 줄일 수 있기 때문에 $f_2 = f(n \div 2 ) + 1$이다.

마지막으로 모든 $n$은 $op_3$를 사용하여 $n$을 $n - 1$로 줄일 수 있기 때문에 $f_3 = f(n - 1) + 1$이다.

따라서, $f(n) = \min(f_1,\ f_2,\ f_3)$이다.

문제 풀이

$f(n)$을 점화식으로 표현하면 다음과 같다.

$f(n)= \begin{cases} 0 & if\ n = 1\\ \min(f_1,f_2,f_3) & else \end{cases}$

✨복잡도 분석

주어진 $n\ (1 \le n \le 10^6)$에 대하여 시간 복잡도와 공간 복잡도는 각각 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(n)$

$f(i)\ (1 \le i \le n)$을 모두 계산해야 하기 때문에 $O(n)$이 소요됨.

공간 복잡도 : $O(n)$

$f(i)\ (1 \le i \le n)$을 저장할 공간이 필요하기 때문에 $O(n)$이 소요됨.

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/1463

1463번: 1로 만들기

첫째 줄에 1보다 크거나 같고, 106보다 작거나 같은 정수 N이 주어진다.

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[Algo Rhythm ] BOJ 10971 - 외판원 순회 2

ALiNew — Sat, 10 Jul 2021 01:22:56 +0900

문제 분석

도시들의 수를 $n$, 각 도시를 $C_i\ (1 \le i \le n)$, 그리고 $C_a$에서 $C_b$로 이동하는데 드는 비용을 $W_{a, b}$라고 하자. 이때 $W_{a, b} \ne W_{b, a}$일 수도 있고 $W_{a,b} = 0$ 이면 $C_a$에서 $C_b$로 이동할 수 없다.

우리는 외판원이 한 번 갔던 도시를 재방문하지 않을 때 어느 한 도시에서 출발해 $n$개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아올 때 드는 최소 비용을 구해야 한다. 이때 주의할 점이 외판원이 어느 도시에서 출발하는가는 중요하지 않다는 것이다. 왜냐하면 아래 그림과 같이 최소 비용으로 이동가능한 경로는 '원순열'의 형태를 띄기 때문이다.

따라서 이 문제는 최소 비용을 가진 원순열을 찾는 문제로 이해할 수 있다. 기본적으로 순열을 찾는 문제이기 때문에 backtracking을 사용하여 해결할 수 있다.

문제 풀이

문제 분석에서 언급했듯이 이 문제는 최소 비용을 가진 원순열을 찾는 문제이기 때문에 어떤 도시에서 출발하는가는 중요하지 않다. 따라서, 임의로 출발 도시를 $C_1$으로 정했다.

그리고나서 나머지 도시들에 대해 backtracking을 실행하는데 다음 depth로 갈 수 있는 기준은 다음과 같다.

방문한 적이 없다.
$W_{src, dest} \ne 0$

이때 불필요한 계산을 줄이기 위해 누적 비용이 이미 계산된 최소 비용보다 클 경우 backtracking 실행을 중단했다.

✨복잡도 분석

도시들의 수를 $n$이라고 할 때, 시간 복잡도와 공간 복잡도는 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(n!)$

최악의 경우 $x\ (1 \le x \le n)$의 도시를 방문한 뒤 $(n - x)$개의 도시들에 대해 backtracking을 실행해야 하기 때문에 $O(n!)$가 소요됨.

공간 복잡도 : $O(n^2)$

$W_{i, j}\ (1 \le i, j \le n)$을 저장하기 위해 $O(n^2)$가 소요됨.
$C_i\ (1 \le i \le n)$의 방문여부를 저장하기 위해 $O(n)$이 소요됨.

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/10971

10971번: 외판원 순회 2

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j

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[Algo Rhythm ] BOJ 2529 - 부등호

ALiNew — Wed, 7 Jul 2021 22:23:34 +0900

문제 분석

두 종류의 부등호 기호 ‘<’와 ‘>’가 $k$개 나열된 순서열을 $A$라고 하자. 그리고 $A$의 $i$번째 순서에 있는 부등호를 $A[i]\ (1 \le i \le k)$, 부등호 기호 앞뒤에 서로 다른 한 자릿수 숫자가 들어갈 자리를 $a_i\ (i \in \{x\ |\ 1 \le x \le (k + 1), \ x \in N\})$라고 하자. 예를 들어, 아래와 같은 $A$에 대하여 $A[i]$들과 $a_i$들은 다음과 같다.

이때 $a_i$는 다음과 같은 네가지 조건이 있다.

$i \ne j$일 때, $a_i \ne a_j$
$a_i \in \{x\ |\ 0\le x \le 9, x \in N\}$
$A[i]$가 '>'이면, $a_i \gt a_{i + 1}$ 이다.
$A[i]$가 '<'이면, $a_i \lt a_{i + 1}$ 이다.

문제는 $\min(a_1a_2...a_{k+1})$와 $\max(a_1a_2...a_{k+1})$를 출력할 것을 요구하는데 이를 위해 가능한 모든 $a_1a_2...a_{k+1}$을 확인해야 한다. 따라서, 이 문제는 backtracking을 구현하는 문제로 이해할 수 있다.

문제 풀이

$\min(a_1a_2...a_{k+1})$와 $\max(a_1a_2...a_{k+1})$을 구하는 함수를 $f(a_1a_2...a_{k+1}, depth)$라고 하자.

$f$는 다음과 같다. 이때 $i \ne j$일 때, $a_i \ne a_j$라는 조건을 만족하기 위해 방문 여부를 조회해야 한다.

$f(Xa_2...a_{k + 1}, 1)\ (X \in [0, 9])$를 실행한 뒤 $\min(a_1a_2...a_{k+1})$와 $\max(a_1a_2...a_{k+1})$를 출력한다.

✨복잡도 분석

순서열 $A$의 길이를 $k$, $a_i$가 될 수 있는 값들의 개수를 $m$이라고 할 때, 시간 복잡도와 공간 복잡도는 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(m!)$

최악의 경우 즉, $A$를 구성하는 모든 부등호들이 같을 경우 $a_{i+1}$를 찾기 위해 재귀 함수를 $m - i$번를 실행하기 때문에 $O(m!)$가 소요됨

공간 복잡도 : $O(k)$

$A$를 저장하기 위해 $O(k)$가 소요됨
$a_i$의 방문여부를 저장하기 위해 $O(k)$가 소요됨

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/2529

2529번: 부등호

두 종류의 부등호 기호 ‘<’와 ‘>’가 k개 나열된 순서열 A가 있다. 우리는 이 부등호 기호 앞뒤에 서로 다른 한 자릿수 숫자를 넣어서 모든 부등호 관계를 만족시키려고 한다. 예를 들어, 제시

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유클리드 알고리즘 - 두 수의 최대공약수는?

ALiNew — Sun, 4 Jul 2021 23:55:24 +0900

Intro

치맥의 고장인 맥치마을에서는 매년 치맥축제 를 엽니다. 올해는 축제를 위해 치킨 4,500마리 와 맥주 7,500잔 을 준비했습니다. 이것들을 최대한 많은 사람들에게 남김없이 똑같이 나누어 주려고 할 때, 1️⃣ 최대 몇 명에게 나누어 줄 수 있으며 2️⃣ 한 사람 당 치킨 몇 마리와 맥주 몇 잔을 받을 수 있을까요?

문제를 모두 맞추셨나요? 여러분이 이미 알고 계시듯이 1️⃣번 문제의 답은 4,500과 7,500의 '최대 공약수(Greatest Common Divisor)'인 150명입니다. 또한 2️⃣번 문제의 답은 치킨 4,500마리와 맥주 7,500잔을 최대 공약수인 150으로 나눈 3마리와 5잔입니다. (한 사람당 치킨 세 마리 와 맥주 5잔 이라니... 정말 좋은 축제네요 )

그렇다면 만약 n년 후 치맥축제 가 전세계적으로 대박이 나면서 치킨 9,876,543마리 와 맥주 3,456,789잔 를 준비한다고 할 때, 1️⃣번 문제와 2️⃣번 문제의 답은 각각 무엇일까요?

아마 바로 답을 구하긴 어려우실 것 같은데요. 컴퓨터가 대신 구해보게 하는 것 어떨까요?

최대 공약수 구하기

두 정수 $a,\ b\ (a \gt b)$의 최대 공약수를 $\gcd(a, b)$라고 합시다. $\gcd(a, b)$를 컴퓨터로 어떻게 구할 수 있을까요?

1. Brute-force

가장 먼저 무식하게 구하는 방법이 있습니다. $\gcd(a, b)$는 1부터 $b$ 중 $a,\ b$ 모두와 나누어 떨어지는 가장 큰 수입니다. 따라서 1부터 $b$까지 차례로 증가하며 $a,\ b$ 모두와 나누어 떨어지는지 확인하면 됩니다.

이 알고리즘을 구현한 코드는 아래와 같고 ⏰시간 복잡도는 $O(b)$입니다.

2. 공약수의 성질 이용하기

이번에는 우아하게 수학 을 이용해볼까요?

공약수의 성질 중 하나는 '두 정수 $a,\ b\ (a \gt b)$의 공약수의 집합은 $a - b$와 $b$의 공약수 집합과 같다'는 것입니다. 이 성질은 아래와 같이 간단하게 증명할 수 있습니다.

$pf.\\ a,\ b의 공약수\ g가\ 있다고\ 하자.\\그렇다면\ a = a'g, \ b = b'g라고\ 할\ 수\ 있다.\\\ \\이때,\ a-b = (a'-b')g\ 이므로\\ a,\ b의\ 공약수의\ 집합은\ a - b와\ b의\ 공약수의\ 집합과\ 같다.$

이 성질을 이용하면 아래와 같은 코드를 구현할 수 있습니다.

이때 ⏰시간 복잡도는 $n = a + b$라고 할 때, $O(n)$입니다. 왜냐하면 $\gcd(a, b)$는 최대 $a+b$번 반복하기 때문인데 다음과 같이 증명할 수 있습니다. 간단하게는 최악의 경우 즉, $gcd(a, 1)$일 때 함수가 몇 번 실행되는지 세는 방법도 있습니다.

$pf.\\두 \ 정수 \ a,\ b(a\gt b)에\ 대하여\\\gcd(a, b) = \gcd(a-b, b) = \gcd(a', b')라고\ 하자.\\\ \\이때\ 다음와\ 같은\ 관계가\ 성립한다.\\\begin{cases} a' = a-b\\ b' = b \end{cases}\\\ \\그리고\ a'+b' = a \lt a+b\ 이다.\\따라서\ \gcd(a, b)는\ 최대\ a+b번\ 반복한다.$

우아하게 수학을 이용했는데 결과는 그렇게 만족스럽지는 않네요...

그렇다면 공약수의 다른 성질을 이용해보면 어떨까요?

유클리드 알고리즘

유클리드 알고리즘은 역사상 가장 오래된 알고리즘으로 유명하고 아래와 같은 성질을 이용하여 두 수의 최대 공약수를 구합니다.

$두\ 정수\ a,\ b\ (a\gt b)에\ 대하여\ \gcd(a,\ b) = \gcd(b,\ a \mod b)이다.$

이 성질은 다음과 같이 간단하게 증명할 수 있습니다.

$pf.\\r = a\mod b,\ a = b \times t + r\ (t \in Z)라고 \ 하자.\\\ \\Case\ 1.\ d = \gcd(a, b)일때,\ d \mid (b \times t + r)이고\ d \mid b이다.\\따라서,\ d \mid r이다.\ 그러므로,\ \gcd(a, b) = \gcd(b, r)이다.\\\ \\Case\ 2.\ c = \gcd(b, r)일때,\ c \mid b이고\ c \mid r이다.\\따라서,\ c \mid a이다.\ 그러므로,\ \gcd(b, r) = \gcd(a, b)이다.\\\ \\따라서, \gcd(a, b) = \gcd(b, r)이다.$

이 성질을 이용하면 아래와 같은 코드로 구현할 수 있습니다.

흠... 근데 과연 이 방법이 다른 방법들 보다 빠를까요?

⏰복잡도 분석

알고리즘의 복잡도를 분석하는 여러 방법들이 있습니다. 그 중 간단하게 매 실행마다 줄어든 자료의 크기로 통해 복잡도를 분석하는 방법이 있습니다. 그럼 한 번 분석해볼까요?

유클리드 알고리즘은 두 정수 $a,\ b\ (a \gt b)$에 대하여 $b$가 0이 될 때까지 반복적으로 함수를 호출합니다.

그럼 아래와 같이 경우를 나눠서 생각해보는 건 어떨까요?

$\gcd(a, b) = \gcd(a', b') = \gcd(b, a \mod b)라고\ 할\ 때\\\ \\Case\ 1\ :\ b\ (=a') \gt \frac{a}{2}\\\ \\a \mod b(=b') = a - b \lt \frac{a}{2}\\\ \\Case\ 2\ :\ b(=a') \le \frac{a}{2}\\\ \\a \mod b(=b') \lt b \le \frac{a}{2}$

경우를 나눠보니 $a \mod b \lt \frac{a}{2}$인 것이 분명해졌습니다. 그러므로 매 실행마다 자료의 크기가 절반 이상 줄어든다는 사실을 알 수 있습니다. 따라서, ⏰시간 복잡도는 $O(\log(\min(a, b))$입니다.

Let's do PS

그럼 오늘 공부한 내용들로 문제를 해결해볼까요?

오늘 해결할 문제는 BOJ 2609 - 최대공약수와 최소공배수입니다.

먼저 스스로 해결해보시고 도움이 필요하시면 아래 코드를 참고하세요.

Further Thinking

$\gcd(a, b) = d$ 라고 할 때 $d = ax + dy\ (x, y \in Z)$로 정의할 수 있습니다.

왜냐하면 $d$는 $a, b$의 최대 공약수이기 때문입니다. 그렇다면 이때 $x$와 $y$의 값은 어떻게 알 수 있을까요?

그리고 이걸 도대체 어디에 응용할 수 있을까요?

그것들은 다음 강의에서 알아보겠습니다. ‍ ‍ ‍

참고

https://ko.wikipedia.org/wiki/유클리드_호제법

https://book.algospot.com/

https://codility.com/media/train/10-Gcd.pdf

[Algo Rhythm ] BOJ 1759 - 암호 만들기

ALiNew — Wed, 30 Jun 2021 19:52:56 +0900

문제 분석

암호가 구성되는 서로 다른 알파벳 소문자의 개수를 $l$, 암호로 사용했을 법한 문자의 개수를 $c\ (3 \le l \le c \le 15)$라고 하자. 암호를 이루기 위해서는 다음과 같은 두 조건을 만족해야 한다.

최소한 한 개 이상의 모음(a, e, i, o, u)로 이루어져 있다.
최소한 두 개 이상의 자음들로 이루어져 있다.
암호를 이루는 알파벳들은 증가하는 순서로 배열되어 있다.

암호로 사용했을 법한 문자들을 하나의 vertex로 보자. 그렇다면 이 문제는 $c$개의 vertex들 중 앞서 언급한 조건들을 만족하여 $l$개의 vertex들을 선택하는 backtracking 문제로 이해할 수 있다.

문제 풀이

먼저 암호로 사용했을 법한 문자들을 저장한 배열 $alphabets$을 오름차순으로 정렬한다. 왜냐하면 암호에서 알파벳들은 증가하는 순서로 배열되었기 때문이다.

다음으로 암호를 저장하는 배열 $cipher$을 완성한 뒤 출력하는 함수 $f$를 실행하는데 $f$는 다음과 같다.

✨복잡도 분석

암호가 구성되는 서로 다른 알파벳 소문자의 개수를 $l$, 암호로 사용했을 법한 문자의 개수를 $c\ (3 \le l \le c \le 15)$라고 할 때, 시간 복잡도와 공간 복잡도는 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O(c^l)$

$alphabets$를 오름차순으로 정렬하는데 $O(clogc)$가 소요됨
$cipher$를 완성하기 위해 $f$를 recursive case마다 $c - idx (1 \le idx \le c)$번 호출하는데 이를 $l$번 반복한다. 따라서 $O(c^l)$이 소요됨

공간 복잡도 : $O(c)$

$alphabets$을 저장하기 위해 $O(c)$가 소요됨
$cipher$를 저장하기 위해 $O(c)$가 소요됨

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/1759

1759번: 암호 만들기

첫째 줄에 두 정수 L, C가 주어진다. (3 ≤ L ≤ C ≤ 15) 다음 줄에는 C개의 문자들이 공백으로 구분되어 주어진다. 주어지는 문자들은 알파벳 소문자이며, 중복되는 것은 없다.

www.acmicpc.net

[Algo Rhythm ] BOJ 18290 - NM과 K(1)

ALiNew — Wed, 30 Jun 2021 17:41:34 +0900

문제 분석

크기가 $n \times m\ (1 \le n,\ m \le 10)$인 격자판을 $g$라고 하자. $g$의 각 칸에는 정수가 하나씩 들어있는데 인접한 칸들을 제외하고 $k\ (1 \le k \le \min (4, n \times m))$개의 칸을 선택하여 각 칸에 들어있는 모든 수들을 더할 때 나올 수 있는 값들 중 최댓값을 구해야 한다.

$g$의 각 칸을 하나의 vertex라고 생각해보자. 그렇다면 이 문제는 $n \times m$개의 vertex들 중에서 인접한 칸들을 제외하고 $k$개의 vertex를 선택할 때 얻을 수 있는 최댓값을 구하는 backtracking 문제로 이해할 수 있다.

문제 풀이

$n \times m$개의 칸 중 $k$개의 칸을 선택할 때 한 가지 조건은 이미 선택된 칸들과 인접한 칸은 선택할 수 없다는 것이다. 이를 위해 각 칸의 방문 여부를 나타내는 $n \times m$ 크기의 정수형 배열 $v$를 생성했다.

$v$는 그 값이 0이면 방문하지 않음을, 0보다 크면 방문함을 나타낸다. $bool$형 배열이 아니라 정수형을 사용한 이유는 선택한 칸들 중 인접한 칸이 중복될 수 있기 때문이다. 간단한 예시는 아래와 같다.

문제에서 요구하는 최댓값을 구하는 함수를 $f$라고 할 때, $f$는 아래와 같다.

✨복잡도 분석

격자판 $g$의 크기를 $n \times m\ (1 \le n,\ m \le 10)$라고 하고 선택해야 하는 칸의 수를 $k\ (1 \le k \le \min (4, n \times m))$라고 할 때 시간 복잡도와 공간 복잡도는 다음과 같다.

⏰시간 복잡도 : $O((nm)^k)$

$g$를 만드는데 $O(nm)$이 소요됨
최댓값을 구하는 함수 $f$는 recursive case마다 $O(nm)$이 소요되는데 depth가 k일 때까지 반복하기 때문에 $O((nm)^k)$가 소요됨

공간 복잡도 : $O(nm)$

$g$를 저장하는데 $O(nm)$이 소요됨
$v$를 저장하는데 $O(nm)$이 소요됨

코드

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/18290

18290번: NM과 K (1)

크기가 N×M인 격자판의 각 칸에 정수가 하나씩 들어있다. 이 격자판에서 칸 K개를 선택할 것이고, 선택한 칸에 들어있는 수를 모두 더한 값의 최댓값을 구하려고 한다. 단, 선택한 두 칸이 인접