[Algo Rhythm🕺💃] BOJ 17626. Four Squares

📚 문제 설명

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 4^2 + 3^2 + 1^2으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105^2 + 15^2 + 8^2 + 5^2.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

 

입력
입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력
출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

🎯 어떻게 풀었나

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;

public class BOJ_17626 {
	public static void main(String[] args) throws Exception {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		int n = Integer.parseInt(br.readLine());
		
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[0] = 0;
		dp[1] = 1;
		
		for(int i = 2; i <= n; i++) {
			int min = Integer.MAX_VALUE;
			
			for(int j = 1; j * j <= i; j++)  {
				min = Math.min(min, dp[i - j * j]);
			}
			
			dp[i] = min + 1;
		}
		
		System.out.println(dp[n]);
	}
}

 

🧐 왜 저렇게 풀었나

Bottom-up 방식의 Dynamic Programming을 이용했다.

DP 냄새가 났지만 식이 떠오르지 않아 일단 다음과 같이 나열했다.

 

 

오래 관찰한 결과 최적의 해를 구하는 식을 발견했고 그것은 다음과 같다.

 

dp[i] = min(dp[i - j * j]) + 1

 

식만 보면 이해하기 어렵지만 예제와 함께 보면 이해하기 쉽다.

N이 4인 경우 4를 자연수의 제곱수들의 합으로 표현하기 위해 사용할 수 있는 자연수는sqrt(4) 이하의 자연수이다. 즉, 2 이하의 자연수의 제곱수들의 합으로 4를 나타낼 수 있다.

4는 1의 제곱수를 사용해서 표현할 경우 3을 만들 때 쓰인 1^2 + 1^2 + 1^2에서 1^2만 더하면 되기 때문에 3 + 1 = 4개의 자연수가 쓰인다.

반면에 2의 제곱수를 사용해서 표현할 경우 2의 제곱수만 사용되기 때문에 1개의 자연수가 쓰인다.

둘 중 2의 제곱수를 사용하는 경우가 더 적은 수의 자연수를 사용하기 때문에 2의 제곱수를 사용하는 경우를 선택한다.

 

 

📖 무엇을 배웠나

DP 참 쉽지 않다 ㅠㅠ